【分布函数怎么求】在概率论与数理统计中，分布函数是一个非常重要的概念，它用于描述随机变量的取值规律。无论是离散型随机变量还是连续型随机变量，都可以通过分布函数来刻画其概率特性。本文将总结如何求解分布函数，并以表格形式清晰展示不同情况下的计算方法。
一、什么是分布函数？
对于一个随机变量 $ X $，其分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）定义为：
$$
F(x) = P(X \leq x)
$$
也就是说，分布函数表示随机变量小于等于某个值 $ x $ 的概率。
二、分布函数的求法总结
| 类型 | 定义 | 求法 | 举例 |
| 离散型随机变量 | 取有限或可列个值 | 计算每个点的概率，然后累加 | 若 $ X \sim \text{Bernoulli}(p) $，则 $ F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1 - p, & 0 \leq x < 1 \\ 1, & x \geq 1 \end{cases} $ |
| 连续型随机变量 | 取值在区间内 | 积分概率密度函数 | 若 $ X \sim U(a,b) $，则 $ F(x) = \begin{cases} 0, & x < a \\ \frac{x - a}{b - a}, & a \leq x < b \\ 1, & x \geq b \end{cases} $ |
| 混合型随机变量 | 既有离散部分，又有连续部分 | 分段计算 | 如某变量在 $ x=0 $ 处有质量，在其他区域是连续的，需分别处理 |
三、具体步骤说明
1. 离散型随机变量的分布函数求法：
- 列出所有可能的取值 $ x_1, x_2, ..., x_n $
- 对应的概率为 $ P(X = x_i) $
- 将这些值按从小到大的顺序排列
- 对于任意 $ x $，计算所有 $ x_i \leq x $ 的概率之和
2. 连续型随机变量的分布函数求法：
- 已知概率密度函数 $ f(x) $
- 分布函数为：
$$
F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt
$$
- 可以用积分公式计算，或者利用已知分布的累积函数直接代入
3. 混合型随机变量的分布函数：
- 需要分别处理离散部分和连续部分
- 在离散点上，加上相应的概率质量
- 在连续区间上，使用积分计算
四、常见分布的分布函数
| 分布类型 | 概率密度/质量函数 | 分布函数 |
| 伯努利分布 | $ P(X = k) = p^k(1-p)^{1-k} $ | $ F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1-p, & 0 \leq x < 1 \\ 1, & x \geq 1 \end{cases} $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $ | $ F(x) = \frac{x - a}{b - a} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | 无法用初等函数表达，通常查表或用数值计算 |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $ | $ F(x) = 1 - e^{-\lambda x} $ |
五、注意事项
- 分布函数是单调不减的。
- 当 $ x \to -\infty $ 时，$ F(x) \to 0 $；当 $ x \to +\infty $ 时，$ F(x) \to 1 $。
- 对于连续型变量，分布函数在大部分点上是连续的，但可能在某些点有跳跃（如混合型变量）。
六、总结
分布函数是研究随机变量的重要工具，不同的随机变量类型对应不同的计算方式。掌握分布函数的求法，有助于理解随机变量的概率行为，也为后续的期望、方差等统计量的计算打下基础。
通过上述表格和说明，可以系统地了解“分布函数怎么求”这一问题的解答思路与实际应用方法。